Basic Math Classes By TheAdilStudy
Chapter 5. भिन्न और भिन्नों की गणना | Fractions in Hindi | Basic Math Chapter 5
अध्याय का परिचय
इस अध्याय में हम भिन्न (Fractions) को सरल भाषा में समझेंगे। यहाँ आपको भिन्न की परिभाषा, उसके उपयोग, तथा भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम उदाहरण सहित समझाए गए हैं।
भिन्न गणित का बहुत महत्वपूर्ण विषय है, क्योंकि इसका उपयोग वस्तुओं के हिस्से, बांटने, तुलना करने और दैनिक जीवन की अनेक गणनाओं में किया जाता है।
भिन्न को समझाने वाला चित्र
भिन्न क्या होती है?
जब किसी संख्या को P / Q (P बटा Q) के रूप में लिखा जाता है, तो उसे भिन्न (Fraction) कहते हैं। इसमें दो भाग होते हैं:
- अंश (Numerator): ऊपर वाली संख्या (P)
- हर (Denominator): नीचे वाली संख्या (Q)
महत्वपूर्ण: हर (Q) कभी भी 0 नहीं हो सकता।
भिन्न का उपयोग
भिन्न का उपयोग सामान्यतः किसी वस्तु, संख्या या मात्रा के हिस्से को दिखाने के लिए किया जाता है।
उदाहरण 1: 1000 में से 10 हिस्सा = \( \frac{10}{1000} \)
उदाहरण 2: पिज़्ज़ा वाला सवाल
सीमा, अजय, सादिक और अहसान चारों दोस्तों ने एक पिज़्ज़ा ऑर्डर किया। पिज़्ज़ा के 4 बराबर टुकड़े थे। प्रत्येक को कितना हिस्सा मिलेगा?
उत्तर: चारों दोस्तों को 4 टुकड़ों में से एक-एक टुकड़ा मिलेगा। भिन्न के रूप में = \( \frac{1}{4} \)
उदाहरण 3: रोटी वाला सवाल
एक रोटी के 5 बराबर टुकड़े किए जाते हैं। एक टुकड़े को भिन्न के रूप में लिखो।
उत्तर: एक टुकड़ा = \( \frac{1}{5} \)
भिन्नों का जोड़
दो या अधिक भिन्नों को जोड़ने के लिए हर (Denominator) को ध्यान से देखना होता है।
नियम 1: जब हर बराबर हो
नियम: अगर हर बराबर हैं, तो हर वही रहेगा और अंशों को जोड़ दिया जाएगा।
उदाहरण: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \) हल करो।
हल: हर समान है, इसलिए अंश जोड़ेंगे: 1 + 1 = 2
\( \frac{2}{2} = 1 \)
नियम 2: जब हर बराबर न हो (LCM विधि)
नियम: अगर हर अलग-अलग हों, तो पहले हरों का LCM लें। फिर सभी भिन्नों को समान हर में बदलकर जोड़ें।
उदाहरण: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \) हल करो।
हल: 2 और 4 का LCM = 4
- पहला अंश: 4 ÷ 2 = 2, फिर 2 × 1 = 2
- दूसरा अंश: 4 ÷ 4 = 1, फिर 1 × 1 = 1
- अंशों का योग: 2 + 1 = 3
\( \frac{3}{4} \)
नियम 3: गुणा विधि
नियम: जब LCM लेना कठिन लगे, तब हरों का गुणा करके नया हर बनाया जा सकता है। फिर तिरछे गुणा से अंश निकाले जाते हैं।
उदाहरण: \( \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \) हल करो।
हल: नया हर = 5 × 3 = 15
- पहला अंश: 3 × 3 = 9
- दूसरा अंश: 1 × 5 = 5
- अंशों का योग: 9 + 5 = 14
\( \frac{14}{15} \)
भिन्नों का घटाव
भिन्नों का घटाव भी जोड़ की तरह ही किया जाता है, बस अंशों को जोड़ने के स्थान पर घटाया जाता है।
नियम 1: जब हर बराबर हो
उदाहरण: \( \frac{6}{2} - \frac{1}{2} \) हल करो।
हल: हर समान है, इसलिए अंश घटाएँ: 6 - 1 = 5
\( \frac{5}{2} \)
नियम 2: जब हर बराबर न हो (LCM विधि)
उदाहरण: \( \frac{6}{2} - \frac{4}{3} \) हल करो।
हल: 2 और 3 का LCM = 6
- पहला अंश: 6 ÷ 2 = 3, फिर 3 × 6 = 18
- दूसरा अंश: 6 ÷ 3 = 2, फिर 2 × 4 = 8
- अंशों का अंतर: 18 - 8 = 10
\( \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
नियम 3: गुणा विधि
उदाहरण: \( \frac{3}{5} - \frac{1}{3} \) हल करो।
हल: नया हर = 5 × 3 = 15
- पहला अंश: 3 × 3 = 9
- दूसरा अंश: 1 × 5 = 5
- अंशों का अंतर: 9 - 5 = 4
\( \frac{4}{15} \)
भिन्नों का गुणा
भिन्नों का गुणा करने के लिए एक भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से और एक हर को दूसरे हर से गुणा किया जाता है।
नियम: \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \)
उदाहरण: \( \frac{9}{7} \times \frac{8}{5} \) हल करो।
हल: अंश: 9 × 8 = 72, हर: 7 × 5 = 35
\( \frac{72}{35} \)
भिन्नों का भाग
भिन्नों का भाग करने के लिए दूसरी भिन्न का उलटा (Reciprocal) लेकर गुणा किया जाता है।
नियम: \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \)
उदाहरण 1: \( \frac{10}{4} \div \frac{8}{5} \) हल करो।
हल: \( \frac{8}{5} \) का उलटा \( \frac{5}{8} \) होगा।
अब, \( \frac{10}{4} \times \frac{5}{8} = \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \)
उदाहरण 2: तिरछा गुणा करके भी हल किया जा सकता है।
अंश: 10 × 5 = 50, हर: 4 × 8 = 32
\( \frac{50}{32} = \frac{25}{16} \)
अभ्यास प्रश्न
- \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \) हल करो।
- \( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \) हल करो।
- \( \frac{5}{6} + \frac{2}{3} \) हल करो।
- \( \frac{7}{8} - \frac{3}{8} \) हल करो।
- \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \) हल करो।
- \( \frac{10}{4} \div \frac{8}{5} \) हल करो।
- \( \frac{2}{5} + \frac{3}{10} \) हल करो।
- एक केक के 8 बराबर टुकड़े किए गए। 3 टुकड़े खा लिए गए। बताइए कितना केक बचा?
उत्तर संकेत
- \( \frac{1}{2} \)
- \( \frac{1}{4} \)
- \( \frac{3}{2} \) या \( 1\frac{1}{2} \)
- \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
- \( \frac{8}{15} \)
- \( \frac{25}{16} \) या \( 1\frac{9}{16} \)
- \( \frac{7}{10} \)
- \( \frac{5}{8} \) केक बचा।
एक नज़र में सभी नियम
| संक्रिया | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| जोड़ (समान हर) | \( \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \) | \( \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \) |
| जोड़ (असमान हर) | LCM लेकर हर समान करें | \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \) |
| घटाव | जोड़ के समान, अंश घटाएँ | \( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) |
| गुणा | \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \) | \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15} \) |
| भाग | \( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \) | \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) |
निष्कर्ष
इस अध्याय में हमने भिन्न की मूल अवधारणा, उसका उपयोग, तथा भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियम सीखे। यदि इन नियमों को अच्छी तरह समझ लिया जाए, तो भिन्नों से जुड़े प्रश्न बहुत आसान हो जाते हैं।
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अन्य Chapters
Chapter 1. संख्याएँ (Numbers) | Chapter 2. संख्या रेखा और पूर्णांक | Chapter 3. पूर्ण संख्याएँ | Chapter 4. परिमेय और अपरिमेय संख्या
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