Basic Math Classes By
TheAdilStudy
Chapter 6. गुणज, गुणनखण्ड, HCF और LCM
(Multiples, Factors, HCF & LCM)
अध्याय का परिचय
इस अध्याय में हम गुणज (Multiples), गुणनखण्ड (Factors), LCM (Lowest Common Multiple) और HCF (Highest Common Factor) को सरल और स्पष्ट भाषा में समझेंगे।
यह अध्याय विद्यार्थियों के लिए बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इनका उपयोग कई गणितीय प्रश्नों को हल करने में किया जाता है। स्कूल परीक्षाओं, प्रतियोगी परीक्षाओं और दैनिक जीवन की गणनाओं में भी इनका प्रयोग होता है।
इस अध्याय में आप सीखेंगे
- गुणनखण्ड (Factors) क्या होते हैं
- गुणज (Multiples) क्या होते हैं
- अभाज्य गुणनखण्ड क्या होते हैं
- LCM निकालने की विधि
- HCF निकालने की विधि
- उदाहरण सहित आसान समझ
गुणज क्या होते हैं?
आसान भाषा में समझें तो किसी संख्या के पहाड़े में आने वाली संख्याएँ उस संख्या के गुणज कहलाती हैं।
जैसे 2 के पहाड़े में 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14... आदि आते हैं, इसलिए ये सभी 2 के गुणज हैं।
एक और आसान तरीका यह है कि किसी संख्या को दूसरी संख्या से गुणा करने पर जो नई संख्या बनती है, वह पहली संख्या का गुणज होती है।
उदाहरण
2 × 3 = 6
2 × 5 = 10
यहाँ 6 और 10 दोनों, 2 के गुणज हैं।
गुणनखण्ड क्या होते हैं?
साधारण भाषा में कहें तो दो या अधिक संख्याओं को आपस में गुणा करने पर जो नई संख्या बनती है, उन गुणा होने वाली संख्याओं को उस नई संख्या के गुणनखण्ड कहते हैं।
जैसे:
2 × 4 = 8 → यहाँ 2 और 4, 8 के गुणनखण्ड हैं।
3 × 7 = 21 → यहाँ 3 और 7, 21 के गुणनखण्ड हैं।
छोटे से डायग्राम के रूप में समझें
2, 3 और 4 → 24 के गुणनखण्ड हैं
और
24, 48, 72, 96 … → 24 के गुणज हैं
अभाज्य गुणनखण्ड क्या होते हैं?
किसी संख्या के वे गुणनखण्ड जिन्हें आगे और नहीं तोड़ा जा सकता, उन्हें अभाज्य गुणनखण्ड कहा जाता है।
जब किसी संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में लिखा जाता है, तो उसे उस संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड कहते हैं।
उदाहरण:
12 = 2 × 2 × 3
यहाँ 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए 12 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 3
अभाज्य गुणनखण्ड कैसे निकालें?
किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड निकालने के लिए हम उसे लगातार अभाज्य संख्याओं से भाग देते हैं, जब तक कि भागफल 1 न हो जाए।
उदाहरण: 36 के अभाज्य गुणनखण्ड निकालें
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1
अतः
36 = 2 × 2 × 3 × 3
इसलिए
36 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2² × 3²
HCF क्या होता है?
HCF का पूरा नाम Highest Common Factor है। इसे हिन्दी में महत्तम समापवर्तक भी कहते हैं।
आसान भाषा में, दो या अधिक संख्याओं के गुणनखण्डों में जो सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड होता है, वही उनका HCF कहलाता है।
उदाहरण: 16 और 18 का HCF निकालें
16 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 2 × 2
18 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 3 × 3
यहाँ दोनों में केवल 2 समान है।
अतः 16 और 18 का HCF = 2
LCM क्या होता है?
LCM का पूरा नाम Lowest Common Multiple है। इसे हिन्दी में लघुत्तम समापवर्त्य भी कहते हैं।
आसान भाषा में, दो या अधिक संख्याओं के गुणजों में जो सबसे छोटी समान संख्या होती है, वही उनका LCM कहलाती है।
उदाहरण: 6 और 8 का LCM निकालें
6 के गुणज → 6, 12, 18, 24, 30 …
8 के गुणज → 8, 16, 24, 32, 40 …
यहाँ दोनों में सबसे छोटी समान संख्या 24 है।
अतः 6 और 8 का LCM = 24
अभ्यास प्रश्न
- 12 के गुणज लिखिए।
- 24 के गुणनखण्ड लिखिए।
- 20 और 30 का HCF निकालिए।
- 12 और 18 का LCM निकालिए।
उत्तर संकेत
- 12, 24, 36, 48, 60 ...
- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- 20 और 30 का HCF = 10
- 12 और 18 का LCM = 36
निष्कर्ष
इस अध्याय में हमने गुणज, गुणनखण्ड, अभाज्य गुणनखण्ड, HCF और LCM को सरल भाषा में समझा। यदि इन मूल अवधारणाओं को अच्छी तरह समझ लिया जाए, तो गणित के कई कठिन प्रश्न भी बहुत आसान लगने लगते हैं।
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