अभाज्य गुणनखण्ड व HCF व LCM निकालना | Basic Math Chapter 7 | TheAdilStudy

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Chapter 7. अभाज्य गुणनखण्ड व HCF व LCM निकालना

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अध्याय का परिचय

इस अध्याय में हम अभाज्य गुणनखण्ड निकालना और उससे HCF तथा LCM निकालना सीखेंगे। इसकी सहायता से हम स्कूल तथा कोचिंग में पढ़ाए जाने वाले महत्वपूर्ण गणितीय प्रश्नों को आसानी से समझ सकते हैं।

यह अध्याय गणित की मूलभूत समझ को मजबूत करता है और आगे आने वाले कई अध्यायों में भी काम आता है।

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे

• अभाज्य संख्या क्या होती है
• अभाज्य गुणनखण्ड क्या होते हैं
• अभाज्य गुणनखण्ड कैसे निकालते हैं
• HCF कैसे निकालते हैं
• LCM कैसे निकालते हैं

अभाज्य संख्या क्या होती हैं?

वे संख्याएँ जिनमें 1 और स्वयं उस संख्या के अलावा किसी और संख्या का पूरा भाग नहीं जाता, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

आसान भाषा में, वे संख्याएँ जिनके केवल दो गुणनखण्ड होते हैं — 1 और वही संख्या — अभाज्य संख्या कहलाती हैं।

जैसे: 2, 3, 5, 7, 11, 13 आदि।

उदाहरण के लिए 7 के गुणनखण्ड केवल 1 और 7 हैं, इसलिए 7 एक अभाज्य संख्या है।

यहाँ 1 से 100 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ दी गई हैं:

अभाज्य गुणनखण्ड क्या होते हैं?

किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणन के रूप में लिखना अभाज्य गुणनखण्ड कहलाता है।

उदाहरण:
12 = 2 × 2 × 3
यहाँ 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए 12 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2 × 2 × 3

अभाज्य गुणनखण्ड कैसे निकालते हैं?

अभाज्य गुणनखण्ड निकालने की कई विधियाँ हैं। नीचे हमने मुख्य विधियाँ उदाहरण सहित समझाई हैं।

विधि 1 – भाग विधि (Division Method)

इस विधि में हम दी गई संख्या को लगातार अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7 आदि) से भाग देते हैं, जब तक कि भागफल 1 न हो जाए।

उदाहरण 1: 36 के अभाज्य गुणनखण्ड निकालें

2 | 36
2 | 18
3 | 9
3 | 3
    1

अब सभी अभाज्य संख्याओं का गुणन करें:
36 = 2 × 2 × 3 × 3
अतः 36 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2² × 3²

उदाहरण 2: 24 के अभाज्य गुणनखण्ड निकालें

2 | 24
2 | 12
2 | 6
3 | 3
    1

24 = 2 × 2 × 2 × 3
अतः 24 के अभाज्य गुणनखण्ड = 2³ × 3

ध्यान रखने योग्य बातें

• अभाज्य गुणनखण्ड निकालते समय सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से भाग देना शुरू करें।
• जब 2 से भाग न जाए, तब अगली अभाज्य संख्या 3, 5, 7... से भाग दें।
• भाग देते रहें, जब तक भागफल 1 न हो जाए।

विधि 2 – वृक्ष विधि (Tree Method)

इस विधि में संख्या को शाखाओं की तरह तोड़कर उसके अभाज्य गुणनखण्ड निकाले जाते हैं।

उदाहरण: वृक्ष विधि से 36 का गुणनखण्ड निकालें।

• हमने 36 को सबसे पहले वाले गोले में रखा।
• हमें पता है कि 6 × 6 = 36 होता है, इसलिए नीचे दोनों गोलों में 6 रखा।
• अब 6 = 2 × 3, इसलिए प्रत्येक 6 को 2 और 3 में तोड़ दिया।
• अब अंतिम सभी संख्याएँ अभाज्य हैं, इसलिए गुणनखण्डन पूरा हो गया।

अतः
36 = 2 × 2 × 3 × 3

HCF कैसे निकालते हैं?

दो या अधिक संख्याओं का HCF निकालने के लिए पहले उनके अभाज्य गुणनखण्ड निकालते हैं। फिर जो अभाज्य गुणनखण्ड दोनों में समान हों, उनका गुणन करते हैं।

उदाहरण: 24 और 36 का HCF ज्ञात करें

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²

समान गुणनखण्ड → 2 × 2 × 3
अतः HCF = 12

इसलिए 24 और 36 का HCF = 12

ध्यान रखने योग्य बातें

• सबसे पहले सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड निकालें।
• जो अभाज्य गुणनखण्ड सभी संख्याओं में समान हों, केवल वही लें।
• समान गुणनखण्डों का गुणन करें। यही HCF होगा।

LCM कैसे निकालते हैं?

दो या अधिक संख्याओं का LCM निकालने के लिए पहले उन संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड निकालते हैं। इसके बाद प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात (Highest Power) लेकर उनका गुणन करते हैं।

उदाहरण: 24 और 36 का LCM ज्ञात करें

24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²

अब सबसे बड़ी घात लें:
2³ और 2² में से बड़ी घात = 2³
3¹ और 3² में से बड़ी घात = 3²

अतः
LCM = 2³ × 3²
LCM = 8 × 9
LCM = 72

इसलिए 24 और 36 का LCM = 72

ध्यान रखने योग्य बातें

• LCM निकालते समय सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखण्ड निकालें।
• प्रत्येक अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लें।
• उन सभी का गुणन करें। यही LCM होगा।

HCF vs LCM Comparison

HCF (महत्तम समापवर्तक)

1. दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा समान गुणनखण्ड
2. Factors (गुणनखण्ड) से संबंधित
3. संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करता है
4. उदाहरण: 24 और 36 का HCF = 12

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)

1. दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा समान गुणज
2. Multiples (गुणज) से संबंधित
3. संख्याएँ इससे विभाजित होती हैं
4. उदाहरण: 24 और 36 का LCM = 72

Practice Questions (अभ्यास प्रश्न)

1. 18 के अभाज्य गुणनखण्ड निकालिए।
2. 30 के अभाज्य गुणनखण्ड निकालिए।
3. 20 और 40 का HCF निकालिए।
4. 12 और 18 का LCM निकालिए।
5. 24 और 30 का HCF निकालिए।
6. 15 और 20 का LCM निकालिए।
7. 36 के अभाज्य गुणनखण्ड लिखिए।

उत्तर संकेत

1. 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
2. 30 = 2 × 3 × 5
3. 20 और 40 का HCF = 20
4. 12 और 18 का LCM = 36
5. 24 और 30 का HCF = 6
6. 15 और 20 का LCM = 60
7. 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²

निष्कर्ष

इस अध्याय में हमने अभाज्य संख्या, अभाज्य गुणनखण्ड, भाग विधि, वृक्ष विधि, HCF और LCM को विस्तार से समझा। यदि इन नियमों को ठीक से समझ लिया जाए, तो गणित के कई महत्वपूर्ण प्रश्न बहुत आसानी से हल किए जा सकते हैं।

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Chapter 1. संख्याएँ (Numbers)

Chapter 2. संख्या रेखा और पूर्णांकों की गणना

Chapter 3. पूर्ण संख्याएँ

Chapter 4. परिमेय और अपरिमेय संख्या – परिभाषा, उदाहरण और अंतर

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