संख्या रेखा और पूर्णांकों की गणना | Basic Math Chapter 2 | TheAdilStudy

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संख्या रेखा और पूर्णांक | Number Line and Integers | Basic Math Chapter 2

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अध्याय का परिचय

इस अध्याय में हम संख्या रेखा और पूर्णांकों की गणना को सरल भाषा में समझेंगे। संख्या रेखा गणित का एक बहुत महत्वपूर्ण आधार है क्योंकि इसकी सहायता से हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को आसानी से समझ सकते हैं।

यह अध्याय विशेष रूप से कक्षा 6 से 8 तथा basic mathematics सीखने वाले विद्यार्थियों के लिए बहुत उपयोगी है।

इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे?

• संख्या रेखा क्या होती है
• पूर्णांक क्या होते हैं
• पूर्णांकों का जोड़
• पूर्णांकों का घटाव
• पूर्णांकों का गुणा
• पूर्णांकों का भाग
• संख्या रेखा पर जोड़ और घटाव
• उदाहरण और अभ्यास प्रश्न

संख्या रेखा क्या होती है?

संख्या रेखा वह सीधी रेखा होती है जिस पर संख्याओं को समान दूरी पर दर्शाया जाता है। इसमें बीच में 0 होता है, दाईं ओर धनात्मक (+) संख्याएँ और बाईं ओर ऋणात्मक (-) संख्याएँ लिखी जाती हैं।

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

← ऋणात्मक

धनात्मक →

चित्र: संख्या रेखा का उदाहरण

ऊपर दिए गए चित्र से स्पष्ट है कि संख्या रेखा पर दाईं ओर बढ़ने पर संख्याओं का मान बढ़ता है और बाईं ओर बढ़ने पर संख्याओं का मान घटता है।

ध्यान रखें:

• दाईं ओर चलना = धनात्मक दिशा
• बाईं ओर चलना = ऋणात्मक दिशा

पूर्णांक क्या होते हैं?

वे संख्याएँ जिनमें धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल हों, उन्हें पूर्णांक कहते हैं।

उदाहरण: ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...

पूर्णांकों का जोड़

नोट: विपरीत चिन्हों वाली संख्याओं को जोड़ने पर बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटती है और उत्तर में बड़ी संख्या का चिन्ह आता है।

• (+) + (+) = +
• (-) + (-) = -
• (+) + (-) = बड़ी संख्या का चिन्ह

उदाहरण

• 2 + 5 = 7
• (-5) + 2 = -3
• 8 + (-3) = 5
• (-6) + (-4) = -10

महत्वपूर्ण नियम:
• अगर ऋणात्मक संख्या बड़ी है और धनात्मक संख्या छोटी है, तो उत्तर ऋणात्मक आएगा।
• अगर धनात्मक संख्या बड़ी है और ऋणात्मक संख्या छोटी है, तो उत्तर धनात्मक आएगा।

मुख्य नियम -

• ( + ) + ( + ) = ( + )
• ( - ) + ( - ) = ( - )
• ( + बड़ी ) + ( - छोटी ) = ( + )
• ( - बड़ी ) + ( + छोटी ) = ( - )

पूर्णांकों का घटाव

जब हम किसी संख्या में से दूसरी संख्या घटाते हैं, तो हमें एक नई संख्या प्राप्त होती है।

नोट: किसी ऋणात्मक संख्या को घटाना, उसके धनात्मक जोड़ के बराबर होता है।

• 5 - (-2) = 7
• 5 - 2 = 3
• -4 - 3 = -7
• -6 - (-4) = -2

पूर्णांकों का गुणा

जब हम पूर्णांकों का गुणा करते हैं, तो उत्तर का चिन्ह संख्याओं के चिन्हों पर निर्भर करता है।

मुख्य नियम -

• ( + ) ✖ ( + ) = ( + )
• ( - ) ✖ ( - ) = ( + )
• ( + ) ✖ ( - ) = ( - )
• ( - ) ✖ ( + ) = ( - )

उदाहरण:

• 5 ✖ 6 = 30 → धनात्मक ✖ धनात्मक = धनात्मक
• (-5) ✖ (-6) = 30 → ऋणात्मक ✖ ऋणात्मक = धनात्मक
• 5 ✖ (-6) = -30 → धनात्मक ✖ ऋणात्मक = ऋणात्मक
• (-5) ✖ 6 = -30 → ऋणात्मक ✖ धनात्मक = ऋणात्मक

पूर्णांकों का भाग

जब हम पूर्णांकों में भाग करते हैं, तो वही चिन्ह नियम लागू होते हैं जो गुणा में लागू होते हैं।

मुख्य नियम -

• ( + ) ➗ ( + ) = ( + )
• ( - ) ➗ ( - ) = ( + )
• ( + ) ➗ ( - ) = ( - )
• ( - ) ➗ ( + ) = ( - )

उदाहरण:

• 30 ➗ 5 = 6
• -30 ➗ -5 = 6
• 30 ➗ -5 = -6
• -30 ➗ 5 = -6

संख्या रेखा पर जोड़

नियम	उदाहरण	स्पष्टीकरण
पहला नियम	4 + 4 = 8	संख्या रेखा पर 4 पर खड़े हैं, 4 कदम दाईं ओर चलेंगे तो 8 पर पहुँचेंगे।
दूसरा नियम	-3 + 6 = 3	-3 पर खड़े हैं, 6 कदम दाईं ओर चलेंगे तो 3 पर पहुँचेंगे।
तीसरा नियम	-4 + (-4) = -8	-4 पर खड़े हैं, 4 कदम बाईं ओर चलेंगे तो -8 पर पहुँचेंगे।
चौथा नियम	4 + (-7) = -3	4 पर खड़े हैं, 7 कदम बाईं ओर चलेंगे तो -3 पर पहुँचेंगे।

संख्या रेखा पर घटाव

संख्या रेखा पर घटाव को समझने के लिए ध्यान रखें कि किसी धनात्मक संख्या को घटाने पर हम बाईं ओर चलते हैं। यदि ऋणात्मक संख्या घटाई जाती है, तो वह दाईं ओर चलने के बराबर होता है।

• उदाहरण 1: 6 - 2 = 4 → 6 पर खड़े होकर 2 कदम बाईं ओर चलेंगे।
• उदाहरण 2: 3 - (-2) = 5 → 3 पर खड़े होकर 2 कदम दाईं ओर चलेंगे।
• उदाहरण 3: -2 - 3 = -5 → -2 पर खड़े होकर 3 कदम बाईं ओर चलेंगे।

Practice Questions / अभ्यास प्रश्न

1. 5 + (-2) = ?
2. (-7) + (-3) = ?
3. 8 - (-4) = ?
4. (-9) - 2 = ?
5. (-6) × (-3) = ?
6. 7 × (-5) = ?
7. (-36) ÷ 6 = ?
8. (-42) ÷ (-7) = ?

उत्तर:

1. 3
2. -10
3. 12
4. -11
5. 18
6. -35
7. -6
8. 6

रोचक बातें

🌊 तालाब की सीढ़ियों वाला उदाहरण

🏊 पानी के अंदर 5वीं सीढ़ी पर खड़े हैं

⬆️ ऊपर आने के लिए 5 कदम चलना होगा

⬇️ नीचे जाने पर ऋणात्मक दिशा मानी जा सकती है

मान लीजिए आप एक तालाब की सीढ़ियों पर खड़े हैं। पानी की सतह को 0 मान लीजिए। सीढ़ियाँ आधी पानी में हैं और आधी पानी के बाहर हैं।

यदि आप पानी के अंदर 5वीं सीढ़ी पर खड़े हैं, तो पानी की सतह पर आने के लिए आपको कितना चलना होगा?

उत्तर: आपको 5 कदम ऊपर यानी धनात्मक दिशा में चलना होगा।

निष्कर्ष

इस अध्याय में हमने संख्या रेखा और पूर्णांकों की गणना को सरल तरीके से समझा। यदि इन नियमों को अच्छी तरह समझ लिया जाए, तो पूर्णांकों से जुड़े प्रश्न बहुत आसान हो जाते हैं।

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Disclaimer

TheAdilStudy पर उपलब्ध सभी अध्ययन सामग्री (Study Material), नोट्स, उदाहरण और व्याख्याएँ हमारे द्वारा स्वयं तैयार की गई हैं। इनका उद्देश्य विद्यार्थियों को गणित को सरल और समझने योग्य भाषा में समझाना है।

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अगले अध्याय में हम पूर्ण संख्याओं को विस्तार से समझेंगे।

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