कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण | NCERT Solutions 2026–27 | TheAdilStudy

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अध्याय 2. एकचर वाले रैखिक समीकरण | 

📘 समीकरण क्या होता है?

समीकरण (Equation) वह गणितीय कथन होता है जिसमें दो व्यंजकों (Expressions) के बीच बराबरी (=) का चिन्ह होता है।

💡 सरल शब्दों में

जब किसी गणितीय कथन में "=" (बराबर) का चिन्ह हो तथा उसमें एक या अधिक अज्ञात राशियाँ (जैसे x, y, a) हों, तो उसे समीकरण (Equation) कहते हैं।

📖 उदाहरण

उदाहरण 1

\[ x+5=12 \]

यह एक समीकरण है क्योंकि इसमें = का चिन्ह है तथा x एक अज्ञात राशि (चर) है।

उदाहरण 2

\[ 2y-3=11 \]

यह भी एक समीकरण है।

उदाहरण 3

\[ 3a+7=22 \]

यह भी एक समीकरण है।

🧩 समीकरण के भाग

उदाहरण:

\[ x+8=15 \]

• बायाँ पक्ष (LHS) = \(x+8\)
• दायाँ पक्ष (RHS) = \(15\)
• बराबर का चिन्ह = "="

🎯 समीकरण का उद्देश्य

समीकरण को हल करने का उद्देश्य अज्ञात राशि (Variable) का सही मान ज्ञात करना होता है।

✍️ हल सहित उदाहरण

\[ x+5=12 \]

दोनों पक्षों से 5 घटाइए—

\[ x=12-5 \]

\[ x=7 \]

अतः समीकरण का हल \(\boxed{x=7}\) है।

📝 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण परिभाषा

जिस गणितीय कथन में दो व्यंजकों के बीच बराबरी (=) का चिन्ह हो, उसे समीकरण (Equation) कहते हैं। समीकरण का उद्देश्य अज्ञात राशि (चर) का मान ज्ञात करना होता है।

🔤 चर (Variable) क्या होता है?

चर (Variable) वह अक्षर या प्रतीक होता है जिसका मान निश्चित न होकर बदल सकता है।

💡 सरल शब्दों में

जिस अक्षर का मान अलग-अलग परिस्थितियों में बदल सकता है, उसे चर (Variable) कहते हैं।

चर को सामान्यतः \(x,\;y,\;z,\;a,\;b,\;m\) आदि अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है।

📖 उदाहरण

उदाहरण 1

\[ x+5=12 \]

यहाँ \(x\) एक चर (Variable) है क्योंकि इसका मान ज्ञात नहीं है।

उदाहरण 2

\[ 2y-7=9 \]

यहाँ \(y\) चर है।

उदाहरण 3

\[ 3a+4=19 \]

यहाँ \(a\) चर है।

🔄 चर का मान बदल सकता है

उदाहरण:

\[ x+2 \]

• यदि \(x=3\), तो मान = 5
• यदि \(x=8\), तो मान = 10

अर्थात चर का मान परिस्थिति के अनुसार बदल सकता है।

📋 महत्वपूर्ण उदाहरण

व्यंजक (Expression)	चर (Variable)
\(x+5\)	\(x\)
\(2y-3\)	\(y\)
\(5a+8\)	\(a\)
\(m-10\)	\(m\)

📌 ध्यान दें

यदि किसी समीकरण में केवल एक ही चर हो, जैसे

\[ x+5=12 \]

तो उसे एक चर वाला समीकरण कहते हैं। यही विषय कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण में पढ़ाया जाता है।

📝 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण परिभाषा

जिस अक्षर या प्रतीक का मान निश्चित न होकर बदलता रहता है, उसे चर (Variable) कहते हैं।

📘 एक चर वाले रैखिक समीकरण क्या होते हैं?

एक चर वाला रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable) वह समीकरण होता है जिसमें केवल एक ही चर (Variable) होता है तथा उस चर की घात (Power) 1 होती है।

💡 सरल शब्दों में

जिस समीकरण में केवल एक ही अज्ञात राशि (जैसे \(x\), \(y\), \(a\)) हो और उसकी घात 1 हो, उसे एक चर वाला रैखिक समीकरण कहते हैं।

📖 उदाहरण

उदाहरण 1

\[ x+5=12 \]

इसमें केवल \(x\) एक चर है तथा उसकी घात 1 है। इसलिए यह एक चर वाला रैखिक समीकरण है।

उदाहरण 2

\[ 2y-7=9 \]

इसमें केवल \(y\) एक चर है तथा उसकी घात 1 है।

उदाहरण 3

\[ 5a+8=18 \]

यह भी एक चर वाला रैखिक समीकरण है।

❌ जो एक चर वाले रैखिक समीकरण नहीं हैं

• \[ x^2+5=12 \] क्योंकि यहाँ \(x\) की घात 2 है।
• \[ x+y=10 \] क्योंकि इसमें दो चर (\(x\) और \(y\)) हैं।

📋 एक चर वाले रैखिक समीकरण की विशेषताएँ

• ✅ केवल एक ही चर होता है।
• ✅ चर की घात हमेशा 1 होती है।
• ✅ बराबर (=) का चिन्ह होता है।
• ✅ इसका उद्देश्य चर का मान ज्ञात करना होता है।

✍️ हल सहित उदाहरण

\[ x+8=15 \]

दोनों पक्षों से 8 घटाएँ—

\[ x=15-8 \]

\[ x=7 \]

अतः समीकरण का हल \(\boxed{x=7}\) है।

📝 परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण परिभाषा

जिस समीकरण में केवल एक ही चर हो तथा उस चर की घात 1 हो, उसे एक चर वाला रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable) कहते हैं।

किसी समीकरण का हल कैसे ज्ञात करें?

समीकरण का हल ज्ञात करने का अर्थ उस चर (Variable) का मान निकालना है, जिससे समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) का मान समान हो जाए।

सरल नियम (Rule)

✔ यदि किसी संख्या को जोड़ा गया है, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाकर घटाया जाता है।

✔ यदि किसी संख्या को घटाया गया है, तो उसे दूसरे पक्ष में ले जाकर जोड़ा जाता है।

✔ यदि किसी संख्या से गुणा किया गया है, तो दूसरे पक्ष में भाग किया जाता है।

✔ यदि किसी संख्या से भाग दिया गया है, तो दूसरे पक्ष में गुणा किया जाता है।

उदाहरण 1

समीकरण:

x + 5 = 12

दोनों पक्षों से 5 घटाएँ—

x = 12 − 5

x = 7

उदाहरण 2

समीकरण:

x − 8 = 15

दोनों पक्षों में 8 जोड़ें—

x = 15 + 8

x = 23

उदाहरण 3

समीकरण:

3x = 18

दोनों पक्षों में 3 से भाग दें—

x = 18 ÷ 3

x = 6

उदाहरण 4

समीकरण:

x / 4 = 5

दोनों पक्षों में 4 से गुणा करें—

x = 5 × 4

x = 20

हल की जाँच (Verification)

हल प्राप्त करने के बाद उसे मूल समीकरण में रखकर जाँच करते हैं। यदि दोनों पक्ष बराबर आ जाएँ, तो प्राप्त मान सही हल होता है।

जाँच करें:

x + 5 = 12

यदि x = 7

7 + 5 = 12

12 = 12 ✔

अतः x = 7 सही हल है।

परीक्षा के लिए परिभाषा

जिस मान को चर के स्थान पर रखने से समीकरण के दोनों पक्ष बराबर हो जाएँ, उसे समीकरण का हल (Solution of Equation) कहते हैं।

महत्वपूर्ण तथ्य

• समीकरण का हल निकालने का उद्देश्य चर का मान ज्ञात करना होता है।
• दोनों पक्षों पर हमेशा समान संक्रिया (जोड़, घटाव, गुणा या भाग) की जाती है।
• हल प्राप्त करने के बाद उसकी जाँच अवश्य करनी चाहिए।
• यदि दोनों पक्ष बराबर हों, तो प्राप्त मान सही हल कहलाता है।

📘 कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण (NCERT 2026–27)

जब समीकरण के दोनों पक्षों में चर हो, तब उसे कैसे हल करें?

कई बार ऐसे समीकरण मिलते हैं जिनमें चर (Variable) दोनों पक्षों (LHS तथा RHS) में होता है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए सबसे पहले सभी चर वाले पदों को एक ही पक्ष में तथा सभी संख्यात्मक पदों को दूसरे पक्ष में ले आते हैं। इसके बाद चर का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।

हल करने के नियम

✔ सभी चर वाले पद एक ही पक्ष में रखें।

✔ सभी संख्याएँ दूसरे पक्ष में रखें।

✔ समान पदों को जोड़ें या घटाएँ।

✔ अंत में चर का मान ज्ञात करें।

✔ प्राप्त उत्तर की मूल समीकरण में रखकर जाँच करें।

उदाहरण 1

समीकरण:

x + 5 = 12 + x

दोनों पक्षों से x घटाएँ—

x − x + 5 = 12 + x − x

5 = 12

यह कथन असत्य है।

निष्कर्ष: इस समीकरण का कोई हल (No Solution) नहीं है।

उदाहरण 2

समीकरण:

2x + 8 = x + 15

दोनों पक्षों से x घटाएँ—

x + 8 = 15

दोनों पक्षों से 8 घटाएँ—

x = 15 − 8

x = 7

उदाहरण 3

समीकरण:

5x − 9 = 3x + 7

दोनों पक्षों से 3x घटाएँ—

2x − 9 = 7

दोनों पक्षों में 9 जोड़ें—

2x = 16

दोनों पक्षों में 2 से भाग दें—

x = 8

हल की जाँच

मूल समीकरण:

2x + 8 = x + 15

यदि x = 7

2×7 + 8 = 7 + 15

22 = 22 ✔

अतः x = 7 सही हल है।

परीक्षा के लिए परिभाषा

यदि किसी समीकरण के दोनों पक्षों में चर हो, तो सभी चर वाले पदों को एक पक्ष में तथा सभी संख्यात्मक पदों को दूसरे पक्ष में लाकर समीकरण का हल ज्ञात किया जाता है।

महत्वपूर्ण तथ्य

• पहले सभी चर एक ही पक्ष में लाएँ।
• सभी संख्याएँ दूसरे पक्ष में रखें।
• समान पदों को जोड़ें या घटाएँ।
• अंत में चर का मान ज्ञात करें।
• उत्तर की जाँच अवश्य करें।

📘 कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण (NCERT 2026–27)

❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्न एवं उत्तर।

Q1. समीकरण (Equation) क्या होता है?

उत्तर: जिस गणितीय कथन में दो व्यंजकों (Expressions) के बीच बराबरी (=) का चिन्ह होता है, उसे समीकरण कहते हैं।

Q2. चर (Variable) किसे कहते हैं?

उत्तर: वह अक्षर या प्रतीक जिसका मान निश्चित न होकर बदलता रहता है, उसे चर (Variable) कहते हैं।

Q3. एक चर वाला रैखिक समीकरण क्या होता है?

उत्तर: जिस समीकरण में केवल एक ही चर हो तथा उस चर की घात 1 हो, उसे एक चर वाला रैखिक समीकरण कहते हैं।

Q4. समीकरण का हल (Solution) क्या होता है?

उत्तर: जिस मान को चर के स्थान पर रखने से समीकरण के दोनों पक्ष बराबर हो जाएँ, उसे समीकरण का हल कहते हैं।

Q5. समीकरण को हल करने का मुख्य उद्देश्य क्या है?

उत्तर: समीकरण को हल करने का मुख्य उद्देश्य चर (Variable) का सही मान ज्ञात करना होता है।

Q6. यदि समीकरण के दोनों पक्षों में चर हो, तो क्या करें?

उत्तर: सभी चर वाले पदों को एक ही पक्ष में तथा सभी संख्यात्मक पदों को दूसरे पक्ष में लाकर समीकरण को हल किया जाता है।

Q7. LHS और RHS का क्या अर्थ है?

उत्तर:
LHS (Left Hand Side) = समीकरण का बायाँ पक्ष।
RHS (Right Hand Side) = समीकरण का दायाँ पक्ष।

Q8. क्या x² + 5 = 12 एक चर वाला रैखिक समीकरण है?

उत्तर: नहीं। क्योंकि इसमें x की घात 2 है। रैखिक समीकरण में चर की घात हमेशा 1 होती है।

Q9. क्या एक समीकरण के एक से अधिक हल हो सकते हैं?

उत्तर: सामान्यतः एक चर वाले रैखिक समीकरण का केवल एक ही हल होता है। लेकिन कुछ विशेष समीकरणों के कोई हल नहीं होते या अनंत हल हो सकते हैं।

Q10. परीक्षा में एक चर वाले रैखिक समीकरण से क्या पूछा जाता है?

उत्तर: परीक्षा में परिभाषा, चर की पहचान, समीकरण बनाना, समीकरण का हल निकालना, दोनों पक्षों में चर वाले प्रश्न तथा NCERT Exercise आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं।

📘 ये FAQs कक्षा 8 गणित अध्याय 2 (NCERT 2026–27) की परीक्षा एवं रिवीजन के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

📝 अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

नीचे दिए गए प्रश्नों को स्वयं हल करने का प्रयास करें। ये प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

📘 भाग A : बताइए कि निम्नलिखित समीकरण हैं या नहीं

1. \(x+5=12\)
2. \(2y-3=7\)
3. \(5a+8\)
4. \(m-10=20\)
5. \(3x+7=16\)

🔤 भाग B : चर (Variable) पहचानिए

1. \(x+8=15\)
2. \(2a+9=17\)
3. \(5m-3=22\)
4. \(7y=35\)
5. \(4p+6=18\)

✍️ भाग C : निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए

1. \(x+9=18\)
2. \(x-6=14\)
3. \(5x=40\)
4. \(\dfrac{x}{7}=9\)
5. \(4x+5=25\)
6. \(2x-8=10\)
7. \(6x=54\)
8. \(3x+9=24\)

🔄 भाग D : दोनों पक्षों में चर वाले समीकरण हल कीजिए

1. \(2x+5=x+12\)
2. \(5x-8=3x+10\)
3. \(7x+6=5x+20\)
4. \(8x-9=4x+15\)
5. \(3x+12=2x+25\)
6. \(6x-5=4x+9\)

📖 भाग E : लघु उत्तरीय प्रश्न

1. समीकरण किसे कहते हैं?
2. चर (Variable) किसे कहते हैं?
3. एक चर वाला रैखिक समीकरण क्या होता है?
4. समीकरण का हल किसे कहते हैं?
5. LHS तथा RHS का क्या अर्थ है?
6. रैखिक समीकरण में चर की घात कितनी होती है?
7. समीकरण को हल करते समय दोनों पक्षों पर समान संक्रिया क्यों की जाती है?

🏆 Challenge Questions

1. \(3x+8=2x+19\)
2. \(7x-12=5x+8\)
3. \(\dfrac{x}{4}+5=11\)
4. \(5(x-2)=20\)
5. \(4(x+3)=32\)

💡 नोट: पहले सभी प्रश्न स्वयं हल करने का प्रयास करें। इसके बाद अपने उत्तरों की जाँच NCERT Solutions या अध्यापक की सहायता से करें।

🎯 परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए इन सभी अभ्यास प्रश्नों का नियमित अभ्यास अवश्य करें।

📚 अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

आइए, इस अध्याय में सीखी गई सभी महत्वपूर्ण बातों का संक्षिप्त पुनरावलोकन करें।

• ✅ समीकरण (Equation) वह गणितीय कथन है जिसमें दो व्यंजकों के बीच बराबरी (=) का चिन्ह होता है।
• ✅ चर (Variable) वह अक्षर या प्रतीक है जिसका मान बदल सकता है, जैसे x, y, z, a, b आदि।
• ✅ एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसमें केवल एक ही चर होता है तथा उसकी घात 1 होती है।
• ✅ किसी भी समीकरण का उद्देश्य चर का सही मान (Solution) ज्ञात करना होता है।
• ✅ समीकरण हल करते समय दोनों पक्षों पर हमेशा समान संक्रिया (जोड़, घटाव, गुणा या भाग) की जाती है।
• ✅ यदि दोनों पक्षों में चर हो, तो पहले सभी चर वाले पदों को एक पक्ष में तथा संख्याओं को दूसरे पक्ष में लाकर हल किया जाता है।
• ✅ प्राप्त उत्तर की मूल समीकरण में रखकर जाँच (Verification) अवश्य करनी चाहिए।
• ✅ अभ्यास करने से रैखिक समीकरणों को हल करना आसान हो जाता है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त होते हैं।

🎯 इस अध्याय से याद रखने योग्य मुख्य बिंदु

• 📌 समीकरण में हमेशा "=" (बराबर) का चिन्ह होता है।
• 📌 रैखिक समीकरण में चर की घात केवल 1 होती है।
• 📌 LHS = Left Hand Side (बायाँ पक्ष)
• 📌 RHS = Right Hand Side (दायाँ पक्ष)
• 📌 दोनों पक्षों पर समान संक्रिया करने से समीकरण संतुलित रहता है।
• 📌 उत्तर प्राप्त करने के बाद उसकी जाँच अवश्य करें।

📝 परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण

इस अध्याय में समीकरण की परिभाषा, चर की पहचान, एक चर वाले रैखिक समीकरण, समीकरण का हल, दोनों पक्षों में चर वाले प्रश्न तथा NCERT Exercise आधारित प्रश्न सबसे अधिक पूछे जाते हैं।

💡 अंतिम संदेश

यदि आपने इस अध्याय के सभी सिद्धांत, उदाहरण तथा अभ्यास प्रश्नों को अच्छी तरह समझ लिया है, तो आप कक्षा 8 गणित अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण से संबंधित अधिकांश प्रश्न आसानी से हल कर सकते हैं।

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📚 पिछले अध्याय का पुनरावलोकन

यदि आपने अभी तक कक्षा 8 गणित अध्याय 1 – परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) का अध्ययन नहीं किया है, तो पहले उसे अवश्य पढ़ें। इस अध्याय में परिमेय संख्याओं की परिभाषा, गुण, जोड़, घटाव, गुणा, भाग तथा NCERT Exercise 1.1 और 1.2 के सम्पूर्ण समाधान दिए गए हैं।

📖 अध्याय 1 – परिमेय संख्याएँ पढ़ें

👨‍🏫 लेखक (Author)

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🗓️ पहली बार प्रकाशित: 13 जुलाई 2026
🔄 अंतिम अपडेट: 14 जुलाई 2026

📚 संदर्भ (References / Sources)

• NCERT गणित (Mathematics) कक्षा 8 – नवीनतम संस्करण 2026–27
• अध्याय 2 – एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in One Variable)
• NCERT पाठ्यपुस्तक एवं अभ्यास प्रश्न
• शैक्षणिक उद्देश्य हेतु स्वयं तैयार किए गए विस्तृत नोट्स एवं उदाहरण