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Chapter 9. ईकाई अंक (Unit Digit)
यहाँ हमने संख्याओं के वर्ग, घन अथवा किसी भी घात को हल करने पर उसका ईकाई अंक क्या आएगा, इसे सरल और स्पष्ट भाषा में समझाया है। इस अध्याय की सहायता से आप बड़ी घातों वाले प्रश्नों का उत्तर बिना पूरी गणना किए बहुत जल्दी निकाल सकते हैं।
इस अध्याय में आप क्या सीखेंगे -
- ईकाई अंक की मूल अवधारणा
- विभिन्न अंकों के पैटर्न
- घात को भाग देकर उत्तर निकालना
- बिना पूरी घात निकाले इकाई अंक ज्ञात करना
- प्रतियोगी परीक्षा के लिए त्वरित नियम
0, 1, 5, 6 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
जिन संख्याओं का ईकाई अंक 0, 1, 5 या 6 होता है, उनकी घात कितनी भी हो, सरल करने पर ईकाई अंक वही रहता है।
उदाहरण -
\(125^{147}\) = ईकाई अंक → 5
\(131^{241}\) = ईकाई अंक → 1
\(140^{56}\) = ईकाई अंक → 0
\(356^{6}\) = ईकाई अंक → 6
2 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 2 है, तो उसकी घात करने पर ईकाई अंक एक निश्चित पैटर्न में बदलता है।
पैटर्न -
\(2^{1}\) = ईकाई अंक → 2
\(2^{2}\) = ईकाई अंक → 4
\(2^{3}\) = ईकाई अंक → 8
\(2^{4}\) = ईकाई अंक → 6
इसके बाद यही क्रम दोहराता है।
उदाहरण 1 - \(12^{7}\) का इकाई अंक क्या होगा?
समाधान: 12 का इकाई अंक = 2, 2 का पैटर्न = 2, 4, 8, 6, 7 ÷ 4 = शेष 3, इसलिए पैटर्न का तीसरा अंक = 8
उत्तर → इकाई अंक = 8
उदाहरण 2 - \(32^{15}\) का इकाई अंक क्या होगा?
समाधान: 32 का इकाई अंक = 2, 15 ÷ 4 = शेष 3, इसलिए पैटर्न का तीसरा अंक = 8
उत्तर → इकाई अंक = 8
उदाहरण 3 - \(72^{20}\) का इकाई अंक क्या होगा?
समाधान: 72 का इकाई अंक = 2, 20 ÷ 4 = शेष 0, इसलिए पैटर्न का चौथा अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 6
3 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 3 है, तो उसकी घात करने पर ईकाई अंक एक पैटर्न में बदलता है।
पैटर्न -
\(3^{1}\) = ईकाई अंक → 3
\(3^{2}\) = ईकाई अंक → 9
\(3^{3}\) = ईकाई अंक → 7
\(3^{4}\) = ईकाई अंक → 1
उदाहरण 1 - \(13^{5}\)
यहाँ 13 का ईकाई अंक 3 है। 5 ÷ 4 = शेष 1, इसलिए पैटर्न का पहला अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 3
उदाहरण 2 - \(23^{8}\)
यहाँ 23 का ईकाई अंक 3 है। 8 ÷ 4 = शेष 0, इसलिए पैटर्न का चौथा अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 1
4 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 4 है, तो उसका पैटर्न 2 अंकों में दोहराता है।
पैटर्न -
\(4^{1}\) = ईकाई अंक → 4
\(4^{2}\) = ईकाई अंक → 6
उदाहरण - \(74^{20}\) का इकाई अंक क्या होगा?
समाधान: 74 का ईकाई अंक = 4, 20 ÷ 2 = शेष 0, इसलिए पैटर्न का दूसरा अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 6
6 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 6 है, तो उसकी घात कितनी भी हो, ईकाई अंक हमेशा 6 ही आता है।
\(6^{2}\) = ईकाई अंक → 6
\(6^{3}\) = ईकाई अंक → 6
7 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 7 है, तो उसकी घात करने पर ईकाई अंक एक पैटर्न में बदलता है।
पैटर्न -
\(7^{1}\) = ईकाई अंक → 7
\(7^{2}\) = ईकाई अंक → 9
\(7^{3}\) = ईकाई अंक → 3
\(7^{4}\) = ईकाई अंक → 1
उदाहरण 1 - \(17^{6}\)
6 ÷ 4 = शेष 2, इसलिए पैटर्न का दूसरा अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 9
उदाहरण 2 - \(27^{9}\)
9 ÷ 4 = शेष 1, इसलिए पैटर्न का पहला अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 7
8 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 8 है, तो उसकी घात करने पर ईकाई अंक एक पैटर्न में बदलता है।
पैटर्न -
\(8^{1}\) = ईकाई अंक → 8
\(8^{2}\) = ईकाई अंक → 4
\(8^{3}\) = ईकाई अंक → 2
\(8^{4}\) = ईकाई अंक → 6
इसके बाद यही क्रम दोहराता है।
उदाहरण - \(18^{2}\)
उत्तर → इकाई अंक = 4
9 ईकाई अंक वाली संख्याएँ
अगर किसी संख्या का ईकाई अंक 9 है, तो उसकी घात करने पर ईकाई अंक एक छोटे पैटर्न में बदलता है।
पैटर्न -
\(9^{1}\) = ईकाई अंक → 9
\(9^{2}\) = ईकाई अंक → 1
इसके बाद यही क्रम दोहराता है।
उदाहरण 1 - \(19^{7}\)
7 ÷ 2 = शेष 1, इसलिए पैटर्न का पहला अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 9
उदाहरण 2 - \(29^{8}\)
8 ÷ 2 = शेष 0, इसलिए पैटर्न का दूसरा अंक लिया जाएगा।
उत्तर → इकाई अंक = 1
घात को भाग देकर ईकाई अंक पाने के त्वरित नियम
1. 2 और 8 की घात अगर 4 से विभाजित हो, तो ईकाई अंक 6 आता है।
उदाहरण - \(2^{4}\) = 16 → ईकाई अंक 6, \(8^{4}\) = 4096 → ईकाई अंक 6
2. 1, 3, 7, 9 की घात अगर 4 से विभाजित हो, तो ईकाई अंक 1 आता है।
उदाहरण - \(1^{4}\)=1, \(3^{4}\)=81, \(7^{4}\)=2401, \(9^{4}\)=6561 → सभी का ईकाई अंक 1
3. अगर घात 4 से भाज्य हो, तो -
- ईकाई अंक सम संख्या हो → नया ईकाई अंक 6
- ईकाई अंक विषम संख्या हो → नया ईकाई अंक 1
उदाहरण - \(752^{124}\) → ईकाई अंक 6, \(857^{64}\) → ईकाई अंक 1
4. 5 × सम संख्या → ईकाई अंक 0, 5 × विषम संख्या → ईकाई अंक 5
उदाहरण - 5 × 22 = 110 → ईकाई अंक 0, 5 × 33 = 165 → ईकाई अंक 5
5. 0 को किसी भी संख्या से गुणा करो, परिणाम का ईकाई अंक 0 ही होगा।
उदाहरण - 10 × 22 = 220 → ईकाई अंक 0
💡 महत्वपूर्ण टिप
बड़ी घात वाले प्रश्नों में पूरी संख्या निकालने की आवश्यकता नहीं होती। केवल आधार संख्या का ईकाई अंक देखें, उसका पैटर्न याद रखें, और घात को उस पैटर्न की लंबाई से भाग देकर उत्तर प्राप्त करें।
अभ्यास प्रश्न
- \(43^{11}\) का ईकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- \(27^{14}\) का ईकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- \(89^{25}\) का ईकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- \(64^{18}\) का ईकाई अंक ज्ञात कीजिए।
- \(128^{17}\) का ईकाई अंक ज्ञात कीजिए।
उत्तर संकेत
- \(43^{11}\) → 3 का पैटर्न, 11 ÷ 4 = शेष 3 → ईकाई अंक 7
- \(27^{14}\) → 7 का पैटर्न, 14 ÷ 4 = शेष 2 → ईकाई अंक 9
- \(89^{25}\) → 9 का पैटर्न, 25 ÷ 2 = शेष 1 → ईकाई अंक 9
- \(64^{18}\) → 4 का पैटर्न, 18 ÷ 2 = शेष 0 → ईकाई अंक 6
- \(128^{17}\) → 8 का पैटर्न, 17 ÷ 4 = शेष 1 → ईकाई अंक 8
निष्कर्ष
इस अध्याय में हमने सीखा कि बड़ी घात वाली संख्याओं का ईकाई अंक निकालने के लिए पूरी संख्या ज्ञात करना आवश्यक नहीं होता। केवल ईकाई अंक का पैटर्न समझकर बहुत जल्दी उत्तर निकाला जा सकता है। यह अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं, स्कूल की पढ़ाई और त्वरित गणना के लिए अत्यंत उपयोगी है।
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