कक्षा 8 गणित अध्याय 2 Exercise 2.1 और 2.2 Solutions (NCERT 2026–27) | एक चर वाले रैखिक समीकरण | Hindi Medium
📖 परिचय
## अध्याय 2 : एक चर वाले रैखिक समीकरण (Exercise 2.1 एवं 2.2)
गणित में कई बार हमें ऐसी समस्याएँ मिलती हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या का मान ज्ञात करना होता है। ऐसी परिस्थितियों को सरलता से हल करने के लिए **एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in One Variable)** का उपयोग किया जाता है। इस अध्याय में आप सीखेंगे कि किसी समीकरण को संतुलित रखते हुए अज्ञात चर (Variable) का सही मान कैसे निकाला जाता है।
**Exercise 2.1** में मूलभूत रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि दी गई है, जबकि **Exercise 2.2** में दैनिक जीवन से जुड़े प्रश्नों—जैसे आयु, अनुपात, संख्या, सिक्के, नोट तथा अन्य व्यावहारिक समस्याओं—को एक चर वाले रैखिक समीकरण बनाकर हल करना सिखाया गया है।
इस पोस्ट में **NCERT गणित (2026–27) के अनुसार Exercise 2.1 एवं Exercise 2.2 के सभी प्रश्नों के सरल, चरणबद्ध (Step-by-Step) और हिन्दी माध्यम में पूर्ण समाधान** दिए गए हैं। प्रत्येक प्रश्न को आसान भाषा में समझाया गया है ताकि विद्यार्थी स्वयं भी इसी प्रकार के प्रश्नों को हल कर सकें।
यदि आप कक्षा 8 गणित की परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं या NCERT Solutions की तलाश में हैं, तो यह पोस्ट आपके लिए अत्यंत उपयोगी सिद्ध होगी।
📚 इस पोस्ट में क्या मिलेगा?
- ✅ Exercise 2.1 के सभी प्रश्नों के विस्तृत हल
- ✅ Exercise 2.2 के सभी प्रश्नों के विस्तृत हल
- ✅ Step-by-Step समाधान
- ✅ सरल एवं आसान भाषा में व्याख्या
- ✅ परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण प्रश्न
📑 विषय सूची (Table of Contents)
- Exercise 2.1
- Exercise 2.2
- महत्वपूर्ण बातें
- Chapter Revision
निम्न समीकरणों को हल कीजिए :
Que.1. x -2 = 7 Que.2. y + 3 = 10 Que.3. 6 = z + 2
Que.4. \(\dfrac{19}{13}\) + x = \(\dfrac{17}{7}\)
Que.5. 6x = 12 Que.6. \(\dfrac{t}{5}\) =10
उत्तर
हल :
\[ x-2=7 \]
दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर,
\[ x-2+2=7+2 \]
\[ x=9 \]
उत्तर : \(\boxed{x=9}\)
हल :
\[ y+3=10 \]
दोनों पक्षों में 3 घटाने पर,
\[ y+3-3=10-3 \]
\[ y=7 \]
उत्तर : \(\boxed{y=7}\)
हल :
\[ 6=z+2 \]
दोनों पक्षों में 2 घटाने पर,
\[ 6-2=z+2-2 \]
\[ 4=z \]
अर्थात्
\[ z=4 \]
उत्तर : \(\boxed{z=4}\)
हल :
\[ x=\frac{17}{7}-\frac{19}{13} \]
\[ =\frac{17\times13-19\times7}{91} \]
\[ =\frac{221-133}{91} \]
\[ =\frac{88}{91} \]
उत्तर : \(\boxed{x=\dfrac{88}{91}}\)
हल :
\[ 6x=12 \]
दोनों पक्षों में 6 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{12}{6} \]
\[ x=2 \]
उत्तर : \(\boxed{x=2}\)
हल :
\[ \frac{t}{5}=10 \]
दोनों पक्षों में 5 से गुणा करने पर,
\[ t=10\times5 \]
\[ t=50 \]
उत्तर : \(\boxed{t=50}\)
हल :
\[ \frac{2x}{3}=18 \]
दोनों पक्षों में 3 से गुणा करने पर,
\[ 2x=18\times3 \]
\[ 2x=54 \]
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{54}{2}=27 \]
उत्तर : \(\boxed{x=27}\)
हल :
\[ 1.6=\frac{t}{5} \]
दोनों पक्षों में 5 से गुणा करने पर,
\[ t=1.6\times5 \]
\[ t=8 \]
उत्तर : \(\boxed{t=8}\)
हल :
\[ 7x-9=16 \]
दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर,
\[ 7x=16+9 \]
\[ 7x=25 \]
दोनों पक्षों में 7 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{25}{7} \]
उत्तर : \(\boxed{x=\dfrac{25}{7}}\)
हल :
\[ 14y-8=13 \]
दोनों पक्षों में 8 जोड़ने पर,
\[ 14y=13+8 \]
\[ 14y=21 \]
दोनों पक्षों में 14 से भाग देने पर,
\[ y=\frac{21}{14} \]
\[ y=\frac{3}{2} \]
उत्तर : \(\boxed{y=\dfrac{3}{2}}\)
हल :
\[ 17+6p=9 \]
दोनों पक्षों में 17 घटाने पर,
\[ 6p=9-17 \]
\[ 6p=-8 \]
दोनों पक्षों में 6 से भाग देने पर,
\[ p=-\frac{8}{6} \]
\[ p=-\frac{4}{3} \]
उत्तर : \(\boxed{p=-\dfrac{4}{3}}\)
हल :
\[ \frac{x}{3}+1=\frac{7}{15} \]
दोनों पक्षों में 1 घटाने पर,
\[ \frac{x}{3}=\frac{7}{15}-1 \]
\[ \frac{x}{3}=\frac{7}{15}-\frac{15}{15} \]
\[ \frac{x}{3}=-\frac{8}{15} \]
दोनों पक्षों में 3 से गुणा करने पर,
\[ x=-\frac{8}{15}\times3 \]
\[ x=-\frac{24}{15} \]
\[ x=-\frac{8}{5} \]
उत्तर : \(\boxed{x=-\dfrac{8}{5}}\)
Que.1. अगर आपको किसी संख्या से \(\dfrac{1}{2 }\) घटाने और परिणाम \(\dfrac{1}{2 }\) को से गुणा करने पर \(\dfrac{1}{8 }\) प्राप्त होता है तो वह संख्या क्या है ?
हल :
माना वह संख्या \(x\) है।
प्रश्नानुसार,
\[ \left(x-\frac{1}{2}\right)\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \]
दोनों पक्षों में 2 से गुणा करने पर,
\[ x-\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\times2 \]
\[ x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
दोनों पक्षों में \(\dfrac{1}{2}\) जोड़ने पर,
\[ x=\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \]
\[ x=\frac{1}{4}+\frac{2}{4} \]
\[ x=\frac{3}{4} \]
अतः अभीष्ट संख्या है : \(\boxed{\dfrac{3}{4}}\)
हल :
माना आयताकार तरण ताल की चौड़ाई \(x\) मीटर है।
तब उसकी लंबाई \(2x+2\) मीटर होगी।
आयत का परिमाप = \(2(\text{लंबाई}+\text{चौड़ाई})\)
प्रश्नानुसार,
\[ 2\left[(2x+2)+x\right]=154 \]
\[ 2(3x+2)=154 \]
\[ 6x+4=154 \]
दोनों पक्षों में 4 घटाने पर,
\[ 6x=154-4 \]
\[ 6x=150 \]
दोनों पक्षों में 6 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{150}{6}=25 \]
अतः,
चौड़ाई \(=25\) मीटर
लंबाई \(=2\times25+2=52\) मीटर
उत्तर :
\[ \boxed{\text{चौड़ाई}=25\text{ मीटर}} \]
\[ \boxed{\text{लंबाई}=52\text{ मीटर}} \]
हल :
माना समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक बराबर भुजा \(x\) मीटर है।
दिया है,
आधार \(=\dfrac{4}{3}\) मीटर
परिमाप \(=4\dfrac{2}{15}=\dfrac{62}{15}\) मीटर
प्रश्नानुसार,
\[ x+x+\frac{4}{3}=\frac{62}{15} \]
\[ 2x+\frac{4}{3}=\frac{62}{15} \]
दोनों पक्षों में \(\dfrac{4}{3}\) घटाने पर,
\[ 2x=\frac{62}{15}-\frac{4}{3} \]
\[ 2x=\frac{62}{15}-\frac{20}{15} \]
\[ 2x=\frac{42}{15} \]
\[ 2x=\frac{14}{5} \]
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{14}{5}\div2 \]
\[ x=\frac{14}{10} \]
\[ x=\frac{7}{5} \]
अतः प्रत्येक बराबर भुजा की माप है :
\[ \boxed{\frac{7}{5}\text{ मीटर}} \]
हल :
माना छोटी संख्या \(x\) है।
तब बड़ी संख्या \((x+15)\) होगी।
प्रश्नानुसार,
\[ x+(x+15)=95 \]
\[ 2x+15=95 \]
दोनों पक्षों में 15 घटाने पर,
\[ 2x=95-15 \]
\[ 2x=80 \]
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{80}{2} \]
\[ x=40 \]
अतः,
छोटी संख्या \(=40\)
बड़ी संख्या \(=40+15=55\)
उत्तर :
\[ \boxed{\text{छोटी संख्या}=40} \]
\[ \boxed{\text{बड़ी संख्या}=55} \]
हल :
माना दोनों संख्याएँ क्रमशः \(5x\) तथा \(3x\) हैं।
प्रश्नानुसार,
\[ 5x-3x=18 \]
\[ 2x=18 \]
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{18}{2} \]
\[ x=9 \]
अतः,
पहली संख्या \(=5\times9=45\)
दूसरी संख्या \(=3\times9=27\)
उत्तर :
\[ \boxed{\text{पहली संख्या}=45} \]
\[ \boxed{\text{दूसरी संख्या}=27} \]
हल :
माना पहला पूर्णांक \(x\) है।
तब दूसरा पूर्णांक \((x+1)\) तथा तीसरा पूर्णांक \((x+2)\) होगा।
प्रश्नानुसार,
\[ x+(x+1)+(x+2)=51 \]
\[ 3x+3=51 \]
दोनों पक्षों में 3 घटाने पर,
\[ 3x=51-3 \]
\[ 3x=48 \]
दोनों पक्षों में 3 से भाग देने पर,
\[ x=\frac{48}{3} \]
\[ x=16 \]
अतः तीनों लगातार पूर्णांक हैं :
\[ 16,\;17,\;18 \]
उत्तर :
\[ \boxed{16,\;17,\;18} \]
✅ Que.7. 8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पहला गुणज = \(x\)
तब अगले दो लगातार गुणज होंगे = \(x+8\) तथा \(x+16\)
\[ x+(x+8)+(x+16)=888 \]
\[ 3x+24=888 \]
\[ 3x=888-24 \]
\[ 3x=864 \]
\[ x=\frac{864}{3}=288 \]
अतः तीनों लगातार गुणज हैं—
\[ 288,\;296,\;304 \]
✔️ जाँच
\[ 288+296+304=888 \]
\[ 888=888\;\checkmark \]
अतः 8 के तीन लगातार गुणज 288, 296 तथा 304 हैं।
✅ Que.8. तीन लगातार पूर्णांक बढ़ते क्रम में लेकर उन्हें क्रमशः 2, 3 और 4 से गुणा करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णांक ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए पहला पूर्णांक = \(x\)
तब अगले दो लगातार पूर्णांक होंगे = \(x+1\) तथा \(x+2\)
प्रश्नानुसार,
\[ 2x+3(x+1)+4(x+2)=74 \]
\[ 2x+3x+3+4x+8=74 \]
\[ 9x+11=74 \]
\[ 9x=74-11 \]
\[ 9x=63 \]
\[ x=\frac{63}{9}=7 \]
अतः तीनों लगातार पूर्णांक हैं—
\[ 7,\;8,\;9 \]
✔️ जाँच
\[ 2\times7+3\times8+4\times9 \]
\[ 14+24+36=74 \]
\[ 74=74\;\checkmark \]
अतः तीनों पूर्णांक 7, 8 तथा 9 हैं।
✅ Que.9. राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5 : 7 है। 4 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए राहुल की वर्तमान आयु = \(5x\) वर्ष
तथा हारून की वर्तमान आयु = \(7x\) वर्ष
4 वर्ष बाद उनकी आयु क्रमशः होगी—
\[ (5x+4)\quad \text{और}\quad (7x+4) \]
प्रश्नानुसार,
\[ (5x+4)+(7x+4)=56 \]
\[ 12x+8=56 \]
\[ 12x=56-8 \]
\[ 12x=48 \]
\[ x=\frac{48}{12}=4 \]
अतः राहुल की वर्तमान आयु
\[ 5\times4=20\text{ वर्ष} \]
हारून की वर्तमान आयु
\[ 7\times4=28\text{ वर्ष} \]
✔️ जाँच
\[ (20+4)+(28+4)=24+32=56 \]
\[ 56=56\;\checkmark \]
अतः राहुल की वर्तमान आयु 20 वर्ष तथा हारून की वर्तमान आयु 28 वर्ष है।
✅ प्रश्न 10. हल
प्रश्न :
किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्या का अनुपात 7 : 5 है।
यदि बालकों की संख्या, बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है, तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
मान लीजिए समान गुणक = \(x\)
बालकों की संख्या = \(7x\)
बालिकाओं की संख्या = \(5x\)
प्रश्नानुसार,
\[ 7x-5x=8 \]
\[ 2x=8 \]
\[ x=4 \]
बालकों की संख्या
\[ 7\times4=28 \]
बालिकाओं की संख्या
\[ 5\times4=20 \]
कुल विद्यार्थी
\[ 28+20=48 \]
✅ उत्तर : कक्षा में कुल 48 विद्यार्थी हैं।
✅ प्रश्न 11. हल
प्रश्न :
बाईचुंग के पिताजी अपने दादाजी से 26 वर्ष छोटे तथा बाईचुंग से
29 वर्ष बड़े हैं। यदि तीनों की आयु का योग
135 वर्ष है, तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए बाईचुंग की आयु = \(x\) वर्ष
पिताजी की आयु = \(x+29\) वर्ष
दादाजी की आयु = (x+29)+26=x+55\) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\[ x+(x+29)+(x+55)=135 \]
\[ 3x+84=135 \]
\[ 3x=135-84 \]
\[ 3x=51 \]
\[ x=17 \]
बाईचुंग की आयु
\[ 17\text{ वर्ष} \]
पिताजी की आयु
\[ 17+29=46\text{ वर्ष} \]
दादाजी की आयु
\[ 46+26=72\text{ वर्ष} \]
✔️ जाँच
\[ 17+46+72=135 \]
\[ 135=135\;\checkmark \]
✅ अतः बाईचुंग की आयु 17 वर्ष,
पिताजी की आयु 46 वर्ष तथा
दादाजी की आयु 72 वर्ष है।
✅ उत्तर :
माना रवि की वर्तमान आयु = x वर्ष
15 वर्ष बाद रवि की आयु = (x + 15) वर्ष होगी।
प्रश्नानुसार,
x + 15 = 4x
दोनों पक्षों से x घटाने पर,
15 = 3x
दोनों पक्षों में 3 का भाग देने पर,
x = 5
✅ उत्तर :
माना वह परिमेय संख्या = x
प्रश्नानुसार,
\[ \frac{5}{2}x+\frac{2}{3}=-\frac{7}{12} \]
दोनों पक्षों से \(\dfrac{2}{3}\) घटाने पर,
\[ \frac{5}{2}x=-\frac{7}{12}-\frac{2}{3} \]
\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}\) होने पर,
\[ \frac{5}{2}x=-\frac{7}{12}-\frac{8}{12} =-\frac{15}{12} =-\frac{5}{4} \]
दोनों पक्षों को \(\dfrac{5}{2}\) से भाग देने पर,
\[ x=-\frac{5}{4}\times\frac{2}{5} =-\frac{1}{2} \]
✅ उत्तर :
माना ₹100, ₹50 तथा ₹10 के नोटों की संख्या क्रमशः 2x, 3x तथा 5x है।
प्रश्नानुसार, कुल राशि ₹4,00,000 है। अतः
100(2x) + 50(3x) + 10(5x) = 400000
सरलीकरण करने पर,
200x + 150x + 50x = 400000
400x = 400000
दोनों पक्षों में 400 का भाग देने पर,
x = 1000
अतः,
- ₹100 के नोट = 2x = 2 × 1000 = 2000
- ₹50 के नोट = 3x = 3 × 1000 = 3000
- ₹10 के नोट = 5x = 5 × 1000 = 5000
✅ उत्तर :
माना ₹5 वाले सिक्कों की संख्या = x
तब प्रश्नानुसार ₹2 वाले सिक्कों की संख्या = 3x
माना ₹1 वाले सिक्कों की संख्या = y
कुल सिक्कों की संख्या 160 है, अतः
y + 3x + x = 160
y + 4x = 160
y = 160 - 4x
कुल मूल्य ₹300 है, अतः
y + 2(3x) + 5x = 300
y + 11x = 300
अब y = 160 − 4x रखने पर,
160 - 4x + 11x = 300
7x = 140
x = 20
अतः,
- ₹5 वाले सिक्के = 20
- ₹2 वाले सिक्के = 3 × 20 = 60
- ₹1 वाले सिक्के = 160 − 80 = 80
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
Q1. कक्षा 8 गणित अध्याय 2 किस विषय पर आधारित है?
यह अध्याय एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in One Variable) पर आधारित है।
Q2. इस पोस्ट में कौन-कौन से अभ्यास शामिल हैं?
इस पोस्ट में NCERT कक्षा 8 गणित अध्याय 2 के Exercise 2.1 एवं Exercise 2.2 के सभी प्रश्नों के हल दिए गए हैं।
Q3. क्या सभी समाधान NCERT 2026–27 के अनुसार हैं?
हाँ, सभी समाधान नवीनतम NCERT 2026–27 पुस्तक के अनुसार तैयार किए गए हैं।
Q4. क्या इस पोस्ट में PDF भी उपलब्ध है?
हाँ, नीचे PDF Download बटन दिया गया है जिससे आप पूरी PDF डाउनलोड कर सकते हैं।
Q5. क्या ये समाधान परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण हैं?
हाँ, सभी प्रश्न बोर्ड परीक्षा एवं वार्षिक परीक्षा की तैयारी के लिए महत्वपूर्ण हैं।
✍️ Author
TheAdilStudy Team
यह लेख NCERT 2026–27 पाठ्यपुस्तक के अनुसार तैयार किया गया है। हमारा उद्देश्य विद्यार्थियों को सरल भाषा में 100% सही एवं परीक्षा उपयोगी समाधान उपलब्ध कराना है।
🌐 Website : www.theadilstudy.online
📚 References / Sources
- NCERT Mathematics Textbook for Class 8 (2026–27 Edition)
- NCERT Official Curriculum
- CBSE Mathematics Guidelines
- Self Verified Mathematical Calculations
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 | एक चर वाले रैखिक समीकरण | THEADILSTUDY){kind=link}
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